〔注意〕

本篇無任何實用的功能

僅因原文章骰子遊戲剖析需在主題上聚焦

而將不重要部分移至此，作為補充文

如果還沒看過的朋友，快去看看吧

說不定對黑精靈冒險能有一番新的認識

〔問題敘述〕

在擁有2套特殊骰，及8顆(6,6)的情況下，最快走完100趟的天數為61天

該情況發生機率為何？

〔整體分析〕

§ 情況條列

共分成五種情況：

1. 兩顆一般骰：91趟

2. 兩顆(6,6)：3趟

3. (1,1)+(2,2)+(3,3)：2趟
4. (4,4)+(6,6)：2趟
5. (5,5)+(6,6)：2趟

§ 條件釐清

1. 總移動需>=48或=44
2. 不可走入16、17格(Bonus)
3. 下列格數需考慮位移
(1) 2=>-1
(2) 6=>+3
(3) 42=>-2
4. 使用不同骰子時，考慮最大化機率之使用順序

§ 預先計算

1. 兩顆公平骰子，出現點數與情況總數關係如下

2. 條件3(3)走到第42格的狀況，僅有在總步數54(=42+12)以上時才需討論。
因當前是在討論最少骰子抵達終點，且終點位於42至54之間，所以下一擲必為最後一擲(即抵達終點)。
故總資源(步數)必須至少為已使用資源(=42)以及未使用資源(=最後一擲=12)之和。
需討論之5種情況，總步數皆少於54，故無需考慮走到第42格的狀況。

〔個別情況討論〕

皆分為剛好走到44格、走到或超過48

以及對位移格使用與否的方式來討論

§ 兩顆一般骰

◆ 終點：48，無位移

僅一種情形，即兩顆總共4次連續擲出12，其機率為(1/36)^4

◆ 終點：48，有位移

負位移不看，44格的位移非此分支討論範圍

僅剩第6格的+3，若第一擲僅前進9步，將無法抵達48格，故機率為0

◆ 終點：44，無位移

少走4格，分配到4次擲骰
而一般骰要能擲兩次，頭一次必須骰出同點數，所以可能分配為：
(4,0,0,0)、(2,2,0,0)、(2,1,0,1)、(2,0,2,0)、(2,0,0,2)、(0,4,0,0)、(0,3,0,1)、
(0,2,2,0)、(0,2,0,2)、(0,1,2,1)、(0,1,0,3)、(0,0,4,0)、(0,0,2,2)、(0,0,0,4)

檢查位移格，上述第一擲皆大於6且最後一擲不為2，所以全都避開了
一、三擲在固定總點數下又必須同點數，故只有1種可能
二、四擲則對照預先計算，加總所有可能
1+3+2x2+1+3+5+4x2+3+3x3+2x2+2x4+1+3+5=58，故機率為 58x(1/36)^4

◆ 終點：44，有位移

1. 若第一擲為2，退回第1格，剩43格，大於剩下三擲的最大可能—36步，故不可能
2. 若第一擲為6(即(3,3))，前進至第9格，剩35格，少1走格，同前項方式推論
(1,0,0)、(0,0,1)，2+2=4，故機率為 4x(1/36)^4
3. 前三擲無法到達第42格，故不可能

◆ 加總

機率為(1+58+4)x(1/36)^4=63x(1/36)^4

§ 兩顆(6,6)

◆ 終點：48

同一般骰的狀況討論，但僅兩次隨機擲骰，故機率為 1x(1/36)^2

◆ 終點：44

不會碰到位移格，故不需討論
少走4格，分配到2次擲骰
可能的組合為(4,0)、(3,1)、(2,2)
各項可能為 5、4x2、3x3
再加乘排列可得：5x2+8x2+9x1=35
故機率為 35x(1/36)^2

◆ 加總

機率為(1+35)x(1/36)^2=1/36

§ (1,1)+(2,2)+(3,3)

為求最大機率，會先骰(3,3)，多爭取第六格的3格位移
而使抵達終點更容易
此時問題變為從第9格開始走
且為避免走至16、17格，故第二擲不能為7、8點
隨機的3次擲骰皆為後擲，故無同點數限制

◆ 終點：48

扣除確定步數之2+4，剩33格，需用三擲走完
少走3~0格皆可抵達終點
以下分情況討論，分配到3次擲骰的所有可能

◆ 終點：44

扣除確定步數之2+4，剩29格，需用三擲走完
少走7步
可能的組合為(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)
各項可能為 4、5x2、6x3、6x2x2、5x4、5x3x2、4x4x2、4x3x3
再加乘排列可得 4x3+10x6+18x6+24x3+20x6+30x6+32x3+36x3=756

其中第二擲為7、8點的分配有
(5,2,0)、(5,1,1)、(5,0,2)、(4,3,0)、(4,2,1)、(4,1,2)、(4,0,3)
所有可能為 6x3+6x2x2+6x3+5x4+5x3x2+5x2x3+5x4=160

所以不走BONUS格的可能為756-160=596種
故機率為 596x(1/36)^3

◆ 加總

機率為((56+21+6+1)+596)x(1/36)^3=680x(1/36)^3

§ (4,4)+(6,6)

總步數少於48，故僅考慮44格的情況

(4,4)、(6,6)任一先骰都不會碰到位移格，亦不用討論

總步數=44
所以僅一種情況
故機率為 1x(1/36)^2

§ (5,5)+(6,6)

總步數少於48，故僅考慮44格的情況
(5,5)、(6,6)任一先骰都不會碰到位移格，亦不用討論

總步數=46，少走2格，分配到2擲裡面
可能的組合為(2,0)、(1,1)
各項可能為 3、2x2
再加乘排列可得 3x2+4x1=10
故機率為 10x(1/36)^2

〔總結〕

將所有情況乘起來就是答案

(63x(1/36)^4)^91 x (1/36)^3 x (680x(1/36)^3)^2 x ((1/36)^2)^2 x (10x(1/36)^2)^2=11900/(36^382)

其實本來只是在寫黑精靈冒險，結果心血來潮就算下去了

算完了很爽，不過真的沒任何用處就是了